Q:英語で電話に出る時は、
“This is ○○○ (自分の名前) speaking.”（○○○と申します)
と普通言うようですが、”speaking”の代わりに”saying”と言ってはいけないんですか？

A: 先ずは動詞”say”と”speak”の違いについて説明します。

say ： 「思いついたこと」「感じたこと」「考えたこと」などを
言葉を使って表現することです。
speak ： 「誰かと何かについて話す」「言葉を使うために声を使う」
「ある特定の言語で話ができること」という意味で、
声を出して言うことに主眼が置かれています。

というわけで、電話で”This is ○○○ (自分の名前) speaking.”というのは、「今声を出しているのは○○○ですよ」ということを伝えています。
つまり「思いついたことや考えたことを話す」という意味の”saying”は使えないということになるわけです。（”speaking”を省略する人もいます。）

その他の”speak”の例：
「〜さんをお願いします」 May I speak with 〜?
　　（”to”より”with”の方が丁寧なのだそうです。）

また、自分にかかってきた電話だったときは、一言”Speaking”と言います。
このように電話では “speak” が多用されることがお分かりになったかと思います。