Q:昔々、中学校で”must（～しなければならない）”は”have to”に書き換えられると習った記憶がありますが、本当に同じ意味なのでしょう

A:表現のニュアンスはそれぞれ違いますので、完全に同じではありません。
例えば、誰かと会っている時「もう家に帰らなくちゃ」と言いたい場合 “I must go home” と “I have to go home” のどちらを使うのがいいのでしょうか。

“must”を使うと「（私は）何がなんでも帰らなければならないと思っている」と主観的な意見を述べることになります。
“must” は強い指示や規則を表す場合によく使われ、強制的なニュアンスが含まれ、言われた側に反感を持たれる可能性がある注意すべき表現です。

“have to”を使うと、「外的な要因でやらなければいけない」という意味になります。
つまり、ここに自分の意見は入っていません。
というわけで”I have to go home”の方が人間関係に支障をきたすことが少ない表現なので、通常はこちらを使うほうが適切と言えるでしょう。

こうした意味の違いが分かると、”must not”が「～してはいけない」、”don’t have to”が「～する必要が無い」の意味となることがお分かりいただけると思います。